2020年全国乙卷数学真题及答案 (2020年全年有多少天)

一、选择题（每题6分）1. 设函数$f(x)=x^2-2x+3$，则$f(a^2-2a+3)$等于（　　） (A) $a^2-2a+3$ (B) $2a^2-4a+6$ (C) $a^2-4a+6$ (D) $2a^2-4a+9$2. 已知集合$A=\{x|x\in N,1\le x\le 6\}$, $B=\{x|x\in N,2\le x\le 7\}$，则$A\cap B$等于（）(A) $\{1,2,3,4,5,6,7\}$(B) $\{2,3,4,5,6\}$(C) $\{1,2,3,4,5,6\}$(D) $\{1,2,3,4,5\}$3. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$，则$f(-2)$的值为（　　）(A) 1(B) -1(C) 0(D) 不存在4. 已知一组数据：$15,16,18,19,20,21,23$，该组数据的众数为（　　）(A) 18(B) 20(C) 19(D) 215. 已知$a$，$b$互不相等，则$a^2+2ab+b^2-(a-b)^2$等于（　　）(A) $0$(B) $4ab$(C) $2ab$(D) $-4ab$二、填空题（每题5分）6. 已知$x+y=8$，则$x^2+y^2$的最小值为________。7. 已知函数$f(x)=\{x+1\text{，}x<0\\x-1\text{，}x\ge0\}$,则$f(-3)+f(0)-f(2)$的值为________。8. 已知$\cos\theta=\frac{3}{5}$，则$\tan\theta$的值为________。9. 已知正方形每条边长为$4$，则正方形内接圆的半径为________。10. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(0,3)$，且与$x$轴有两个交点，则$c$的值为________。三、解答题（共74分）11.（10分） 已知函数$f(x)=\log_2(x^2-1)$，求函数$f(x)$的定义域和值域。12.（12分） 解方程：$\left|x-2\right|=3$。13.（14分） 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2+2n$，求公差$d$。14.（16分） 在平面直角坐标系中，已知点$A(1,2)$，点$B$在直线$y=2$上，点$C$在$x$轴上，且$\triangle ABC$的面积为$6$。求点$B$，$C$的坐标。15.（18分） 已知函数$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$。 （1）求证：$f(x)$在$(-1,1)$上单调递增。 （2）若$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$x_1x_2=-1$。16.（14分） 已知圆$C_1:x^2+(y-3)^2=1$和圆$C_2:(x-3)^2+(y+2)^2=1$，求点$P$到圆$C_1$，$C_2$的距离的和的最值。答案一、选择题1. B 2. B 3. B 4. B 5. B二、填空题6. 32 7. -2 8. $\frac{4}{3}$ 9. $2$ 10. 3三、解答题11. 定义域：$\{x|x<-1\text{或}x>1\}$ 值域：$(-\infty,0)$12. $x=5$或$x=-1$13. $d=6$14. $B(1,2)$，$C(6,0)$15. （1）证明： 设$x_1 0$。 由$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$知，$f(x_2)-f(x_1)=\frac{x_2}{x_2^2+1}-\frac{x_1}{x_1^2+1}=\frac{x_2(x_1^2+1)-x_1(x_2^2+1)}{(x_2^2+1)(x_1^2+1)}=\frac{x_2^3-x_1^3}{(x_2^2+1)(x_1^2+1)}>0$ 因此，$f(x)$在$(-1,1)$上单调递增。 （2）证明： 由$f(x_1)=f(x_2)$得 $$\frac{x_1}{x_1^2+1}=\frac{x_2}{x_2^2+1}\Rightarrow x_1(x_2^2+1)=x_2(x_1^2+1)\Rightarrow x_1x_2^2-x_2x_1^2=0\Rightarrow x_1x_2(x_1-x_2)=0\Rightarrow x_1x_2=-1$$16. 距离和最值为$2\sqrt{5}$，当且仅当$P$是两圆圆心的中点时取到。