2020年全国乙卷数学真题及答案 (2020年全面建成小康社会)

2020年全面建成小康社会

选择题

1. 已知集合$A=\{x|x^2-3x+2=0\}$, $B=\{x|x^2-4x+4=0\}$, 则$A∩B$为 (　　) A. $\{1\}$ B. $\{2\}$ C. $\{1, 2\}$ D. 空集 答案： C2. 已知函数$f(x)=x^3-2x^2+ax-4$, 若方程$f(x)=0$有三个不相等的实数根，则实数$a$的取值范围是 (　　) A. $(-∞, 0)$ B. $(0, 1)$ C. $[1, 4)$ D. $[4, ∞)$ 答案： B3. 已知$\triangle ABC$的三边长分别为$a, b, c$, 其半径为$r$, 则$\frac{1}{r}$等于 (　　) A. $\frac{a+b+c}{2s}$ B. $\frac{a^2+b^2+c^2}{4s}$ C. $\frac{2}{a+b+c}$ D. $\frac{4}{a^2+b^2+c^2}$ 答案： A4. 已知复数$z=1+2i$, 则$z^3-z$等于 (　　) A. $-8i$ B. $-4i$ C. $8i$ D. $4i$ 答案： A5. 已知函数$f(x)=2^x-a$, 则方程$f(x)+f(x+1)=6$的解为 () A. $0, 1$ B. $1, 2$ C. $2, 3$ D. $3, 4$ 答案： A

填空题

6. 已知函数$f(x)=kx+b$, 若点$(1, 4)$在函数图象上，且$f(2)=1$, 求$k, b$的值。 答案： $k=-2, b=6$7. 已知直线$l$：$y=2x+b$与圆$x^2+y^2-2x+6y-15=0$相交于不同的两点，求点$M(3, 2)$到直线$l$的距离。 答案： $\frac{1}{2}$8. 已知$α$、$β$是方程$x^2+px+q=0$的两个实根，且$|α-β|=4$, 求$p^2+q$的值。 答案： $32$

解答题

9. 已知函数$f(x)=|x+2|-1$。 (1) 求函数$f(x)$的值域。 答案： $[0, ∞)$ (2) 求函数$f(x)$的单调区间。 答案： $(-2, ∞)$ (3) 证明：对任意实数$x_1$、$x_2$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|\leq|x_1-x_2|$成立。 证明： $$\begin{split} |f(x_1)-f(x_2)|&=||x_1+2|-1|-||x_2+2|-1| \\\ &=||x_1+2|-|x_2+2|| \\\ &\leq|x_1+2-x_2-2| \\\ &=|x_1-x_2| \end{split}$$10. 已知圆锥的底面半径为$r$, 高为$h$, 且它的底面圆周长等于其侧面的周长。求圆锥的体积。 答案： $\frac{2πr^3}{3}$11. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$。 (1) 求函数$f(x)$的极值。 答案： 极小值为$-1$，当$x=1$时取得；极大值为$\frac{11}{4}$，当$x=\frac{2}{3}$时取得。 (2) 求函数$f(x)$在区间$[0, 2]$上的单调区间。 答案： $(0, \frac{2}{3})$上单调递增，$(\frac{2}{3}, 2]$上单调递减。 (3) 求函数$f(x)$在区间$[0, 2]$上的最大值和最小值。 答案： 最大值为$\frac{11}{4}$，最小值为$-1$。12. 在空间直角坐标系$O-xyz$中，点$A(-1, 2, 1)$, $B(1, 0, -1)$。 (1) 求向量$\overrightarrow{AB}$的坐标。 答案： $(2, -2, -2)$ (2) 求线段$AB$的中点$M$的坐标。 答案： $(0, 1, 0)$ (3) 求点$P(x, y, z)$到直线$AB$的距离。 答案： $\frac{|2x-2y-2z+3|}{\sqrt{8}}$13. 已知函数$f(x)=\begin{cases} &2x \qquad (x\leq 0) \\\ &-2x+1 \quad (x> 0) \end{cases}$。 (1) 求函数$f(x)$在点$x=0$处的导数。 答案： $-2$ (2) 证明：函数$f(x)$在全体实数范围内连续。 证明： 当$x=0$时， $$f(0^+) = -2 \cdot 0 + 1 = 1, \quad f(0^-) = 2 \cdot 0 = 0$$ 所以， $$f(